620 - 管理科學 MS on 嗡嗡的隨手筆記

【管理科學】運輸問題 (Transportation problem) 期末考筆記 - MS (管理科學、Management Science) / OR (作業研究、Operations Research)

Sun, 24 Jun 2018 20:00:57 +0800

第八章 Transportation and Assignment problems

運輸問題 (Transportation problem)

雖然有六條算式，但剩下那條可由其他五條組合而得出，所以只有五條限制式

解法

方法一：Northwest Corner Method

直接填滿

方法二：Vogel’s Approximation method

1. 計算penalty "次小-最小"
2. 找到penalty最大，填滿他，刪除其他限制式
3. 重複1.2 直到找到所有值(資源耗盡)

方法三：優化解 the MODI method(uv method)

1. 找到不合的最大值 Cj-Zj "為負"且最小
2. theta取代該值，循環補償誤差
3. 修正值
4. 重複1.2.3. 直到Cj-Zj 皆為正

運輸問題 (Transportation problem) 的特殊題型

Dummy 問題

有時候supply與demand不一定相等，需要設一個dummy變數代表剩餘的資源

Degeneracy (退化解)問題

解出來的變數值有0

Maximum 的運輸問題

1. penalty改算 "最大-次大"
2. Cj-Zj 找正

【管理科學】Duality & Postoptimality Analysis (敏感度分析) 期末考筆記 - MS (管理科學、Management Science) / OR (作業研究、Operations Research)

Mon, 21 May 2018 19:52:44 +0800

Duality & Postoptimality Analysis (敏感度分析)

forms

primal form

原題

Cononical form

統一大小於，做符號轉換(大於、等於、小於)

Dual form

以係數來重新檢視問題(有點類似做轉置矩陣)

Theorems

Theorem 4-1

objective function primal form 與 Dual form 會相等

Theorem 4-2

slack variables(除了目標式變數之外，我們自己加的變數(非人工變數))
slack variables = 0 時，dual variable 會對應必有值
反之，slack variables 有值時，dual variable 必為 0

Theorem 4-3

slack variables所對應的Zj那個row(final table)，會正好是dual variables的解

Postoptimality Analysis

對於"目標變數"來說，可變動範圍表示"不影響最佳解的值"，但object function得到的值會變

換句話說就是 X1=5 X2=10 這種不會變，但Min Max會隨著你調整係數改變

對於"constraints的值"來說，可變動範圍"會影響最佳解的值"，且object function得到的值也會變

邊濟效益(經濟學) shadow price: 正是指我們在上方所求得的 dual variables
而 dual prices 也正對應 constraints的值

想想一個問題：如何使 Max f = 12x1+8x2 能夠再增加?

1. 改變係數:我們去動12跟8 
    -> 改變係數，X1,X2不變，dual price改變，值增加
2. 改變限制:我們讓你有更多的資源 (造成X1,X2增加)
    -> 改變右邊資源，X1,X2改變，dual price不變，值增加

第四章末 Postoptimality Analysis

找B^(-1)的方法

BI -> IB^(-1)

Analysis of the coefficient

改設係數為C final table Cj-Zj<=0 看範圍

Analysis of the right-hand sides

設原限制右側值為b 透過B^(-1)運算得到新b >=0看範圍

100 percent rule

單一變化的總和相加小於100%時，結果不受影響

add new decision variable

一樣設係數為C，透過B^(-1)運算得到final table 判斷 Cj-Zj需要>=0，表示生產新東西更有價值。

【管理科學】simplex method 變形, two-phase method 二階解(另解) 第二次期中考筆記 - MS (管理科學、Management Science) / OR (作業研究、Operations Research)

Thu, 10 May 2018 19:57:15 +0800

simplex method 變形

大於、等於的處理

使用 M

Minimization 最小目標

1. +M
2. Cj-Zj改為判斷最小值 
(同時停止目標變成 >=0 時)

Alternate Optima 多重解

說明:

找到兩個 basic feasible solution

注意:

解到最後一張表之後
當底下Cj-Zj有發現"非"當時basic variable 也為0時
表示可以在”增益為0“的情況下進行代換
既然"增益為0"，也表示最佳解被"保持一樣的值"
但我們可透過代換找到不同的數字也得到"一樣的最大值"
所以為多重解

Unbounded solution 最大值無限大，無法找到

說明:

解在開放區域
解到theta皆為負

注意:

theta為負表示資源可以不受限制的取用，
這樣的話我們可以無限的使最大值增加，
這樣的題目本身是不合理的(最大資源量應該有限制)，
此為Unbounded solution(並非無解，而是解可以到無限大)

infeasible problems 無解問題

說明:

解完，M未消失

注意:

M未消失，表示為infeasible，點在解區域外，為無解。

unrestricted variables 無限制答案範圍的解

說明:

當變數可有負數解時
X1 = X11 - X12, X11,X12 >= 0

two-phase method 二階解(另解)

說明:

可以視為 simplex method 的另解

Q:為什麼要有這個另解?

A:在很多時候我們很難去定義M到底是什麼，或說M到底有多大
這在某些狀況會產生很大的問題，例如你要怎麼告訴電腦M是什麼?

★Phase1 - 處理人工變數(單純來說就是在沒用M的情況下照解)

利用Min必須為最小的特性(逆向操作：Max不可為負)，
當只有人工變數係數為正，為了使答案最小，人工變數的值必須為0

★銜接Phase2 - 判斷情況

1. Min不等於0 - 此題無解
2. Min等於0，人工變數答案為0 - 此題有解(進入Phase2階段)
3. Min等於0，人工變數答案不為0 - 此題有解(進入Phase2階段)，且有冗限制式(不重要的限制式)

★Phase2 - 因為M在Phase1被處理掉了，我們可以回歸正常的解法

【管理科學】solve LP problems — simplex method 詳細步驟與概念（第二次期中考筆記）

Mon, 30 Apr 2018 19:39:52 +0800

solve LP problems

exterme points

概念：畫圖求解

basic solutions

概念：變數嘗試代點0

simplex method

由George B. Dantzig.所提出
-> Hill-Climbing Method

例題

Max f. = 12X1+8X2
5X1+2X2<=150
2X1+3X2<=100
4X1+2X2<=80

ROUND1

步驟1：以上面敘述建表

步驟2：完成zi，Ci-zi欄，判斷是否找到解

運算規則：

1.Ca那個column乘上右側Xi，加總後得zi
2.Xi上方數字減zi得到Ci-zi

判斷解：

Ci-zi那一個row如果還有數字為正，表示還能夠再增加(未找到最佳解)

概念：

增加效益為正，為負表示硬增加只會讓Max更少

範例(藍色部分)：

1. zi = 0*5+0*2+0*4 = 0
2. Ci-zi = 12-0 = 12

步驟3：(如果還未找到最佳解)挑選pivot column(藍色)，計算Θ，再找pivot row(綠色)

運算規則：

- 找pivot column(藍色)：找Ci-zi的row最大數字

觀念：

我們希望能找到能讓目標增加最大的變數(如同跑得快的車子會比跑得慢的車子更快到達終點)，我們這裡挑選X1，因為他一次(增加1)就能幫我們增加12，而X2一次(增加1)只能幫我們增加8，我們優先挑增加最多的，當然能比較快達到目標。

- 計算Θ，再找pivot row(綠色)：pivot column乘上Θ等於b

觀念：

雖然是選擇最快的車，但也不代表我們可以無限的衝刺，原先的限制式幫我們限制了X1能增加的極限，如同上面的例子中：

X3 row：X1*30=150
X4 row：X1*50=100
X5 row：X1*20=80

算出來就是Θ，表示如果那行全部投資在X1可以達到的上限，我們可以發現X1最多就是增加20(再多就會超過X5 row的限制了)，而X5 row在此就成為我們的pivot row(綠色)

補充:

theta<0 的意義為 “這個限制式讓你有足夠的餘裕，你可以無限的增加”
theta=0 的意義為 “這個限制式我不影響你”

步驟4：我們利用最後所找到的pivot column與pivot row再次重新出發

以上面例子來說，我們找到的是 X1(pivot column) 與 X5(pivot row)，
我們將這兩個做交換如下(注意Ca有變)，
交換後因為Θ、zi、Ci-zi的資訊是屬於舊的，我們可以直接刪去以免造成計算上的混亂：

步驟5：玩弄你的數學！透過矩陣運算，將屬於Xa那個column的對應係數都調成1且其他係數為0

詳細過程我們做了什麼？

1. X1 row /4
2. X3 row - (新X1 row*5)
3. X4 row - (新X1 row*2)

好的，這回合我們找到了解 (X1,X2,X3,X4,X5) = (20,0,50,60,0)，
我們沒有找到最佳解，但沒關係，我們已經離解答接近了一步，
我們利用最後所找到的pivot column與pivot row再次重新出發。

ROUND2

步驟1：我們現在的表長這樣

步驟2：完成zi，Ci-zi欄，判斷是否找到解

運算規則：

1.Ca那個column乘上右側Xi，加總後得zi
2.Xi上方數字減zi得到Ci-zi

判斷解：

Ci-zi那一個row如果還有數字為正，表示還能夠再增加(未找到最佳解)

zi(黃色部份)：只有12有值，只需特別計算那個row(藍色部分)
Ci-zi(綠色部分)：等於圖上紅色部分減黃色部分
補充：

Ci-zi為增加的效益
上方我們找到 12 , 8
但此處我們找到卻不是8而是2
因為限制式開始讓我們想增加購買X2的量時
必須付出相對的代價
我們拿一個X2確實增加了8
但也必須付出代價6
所以實際拿一個X2變成只能增加2的效益

步驟3：(如果還未找到最佳解)挑選pivot column(藍色)，計算Θ，再找pivot row(綠色)

運算規則：

- 找pivot column(藍色)：找Ci-zi的row最大數字

我們找到了2

- 計算Θ，再找pivot row(綠色)：pivot column乘上Θ等於b

X3 row：X2*X3Θ=50
-1/2*X3Θ=50
X3Θ = -100
X4 row：X2*X4Θ=60
2*X4Θ=60
X4Θ = 30
X1 row：X2*X1Θ=20
1/2*X1Θ=20
X1Θ = 40

算出來的Θ，我們可以發現X2最多就是增加30(再多就會超過X4 row算式的限制了)，而X4 row在此就成為我們的pivot row(綠色)

步驟4：我們利用最後所找到的 pivot column 與 pivot row 再次重新出發

以上面例子來說，我們找到的是X2(pivot column)與X4(pivot row)，
我們將這兩個做交換如下(注意Ca有變)，
交換後因為Θ、zi、Ci-zi的資訊是屬於舊的，我們可以直接刪去以免造成計算上的混亂：

步驟5：玩弄你的數學！透過矩陣運算，將屬於Xa那個column的對應係數都調成1且其他係數為0

詳細過程我們做了什麼？

1. X2 row /2
2. X3 row + (新X2 row*1/2)
3. X1 row - (新X2 row*1/2)

好的，這回合我們找到了解 (X1,X2,X3,X4,X5) = (5,30,65,0,0)，
這回合我們沒有找到最佳解，但沒關係，我們已經離解答又更接近了一步，
我們利用最後所找到的pivot column與pivot row再次重新出發。

ROUND3

步驟1：我們現在的表長這樣

步驟2：完成zi，Ci-zi欄，判斷是否找到解

運算規則：

1. Ca那個column乘上右側Xi，加總後得zi
2. Xi上方數字減zi得到Ci-zi

判斷解：

Ci-zi那一個row如果還有數字為正，表示還能夠再增加(未找到最佳解)

好的，我們發現Ci-zi那一個row的數值已經都小於0，這也表示無法再增加值(無法找到更好的解)
所以我們找到了解 (X1,X2,X3,X4,X5) = (5,30,65,0,0)，
也表示我們找到了答案，答案為X1=5，X2＝30(紫色部分)

【管理科學】IP problem, 條件式 IP problems (either-or, if-then problem) 第一次期中考筆記 - MS (管理科學、Management Science) / OR (作業研究、Operations Research)

Fri, 27 Apr 2018 19:25:30 +0800

IP Problems

1.knapsack problem/背包問題

特色：基礎題，選擇要不要把東西放進背包(只有0or1可選)

2.knapsack problem/背包問題-續

特色：簡易條件式，可透過些微判斷得到條件式

3.fixed-charge problem/存在才需支付問題

特色：如何讓你的存在影響到我會存在

ex:要做某商品才需要付機器租用費，反之則不租則不用付

4.set-covering problem/覆蓋範圍問題

特色：依照距離，能在時限內的只需要有1即可達成條件

條件式 IP problems

1.either-or problem

★小提示：

難理解的話可以先思考這題，
想讀書或睡覺
★可能之一：讀書 + “不睡”
★可能之二：睡覺 + “不讀”

★特別注意:

either-or 並不是 or問題，一方成立另一方不可以成立

基本條件式：

f<=0 or g<=0 (這邊其實這樣表示不是很好，應該只有一個能成立)

轉換成

f <= My
g <= M(1-y)

其中：

M為極大數
y等於0或1

y等於0時:

f<=0 f<=0的條件"單獨"發生 
g<=M M極大 此式恆成立 (不重要的式子)

y等於1時:

f<=M M極大 此式恆成立 (不重要的式子)
g<=0 g<=0的條件"單獨"發生

2.if-then problem

基本條件式：

if f>0 then g>=0

轉換得

-g <= My
f <= M(1-y)
M為極大數
y等於0或1

等於0時:

-g<=0 -g<=0(等價於g>=0)的條件"單獨"發生 而前式f>0(自動成立)
f<=M M極大 此式恆成立 (不重要的式子)

等於1時:

-g<=M M極大 此式恆成立 (不重要的式子)
f<=0 f<=0的條件"單獨"發生 g因此不受限

【管理科學】LP problem 與 solution procedure（第一次期中考筆記）

Sun, 22 Apr 2018 21:53:38 +0800

LP solution procedure

- define decision variables(決定變數) - Define objective function（決定目標函數：Max/Min） - construct constraints on decision variables(決定限制式)

LP Problems

1. Allocation models/分配問題

特色：基本型，大於小於限制

2. blending models/混合問題

特色：注意上下界範圍需要考量
混合：和等於1

3. operations planning/工作規劃

特色：一方面小於工時，另一方面大於需求

4. input/output model/階段輸入輸出型產量問題

特色：一個階段會產生下一階段
建議先把流程畫出來再處理等式

5. shifting scheduling/工作排程的時間平移

特色：時間平移的多重等式，重複使用變數多

6. time-phased moedls/總工作量接續問題

特色：上一階段未完成的工作量，可以平移到下一時段

5.6.可以合考 5.當obj func. 6.當constraints

7. MaxMin Objectives/極大極小問題

★小提示：

難理解的話可以先思考這題，
現在一個學校有三個班級
1.求三個班的第一名中最低分的(MinMax)
2.求三個班的最後一名中最高分的(MaxMin)

★進階思考：

三個班的第一名中最低分的(MinMax)
會不會一定大於等於
三個班的最後一名中最高分的(MaxMin)呢?

不過上述例子中，是由已知數值去做運算，
實際上我們是要調整"變動"數值，所以這例子頂多作為幫助思考

概念：balance，取平均
Maximize the minimum
用上面例子來說的話，全校總分固定，
讓每個班級的最低分能有最大分數

這樣應該就很好想像了，
=> 只要大家都考差不多就好啦

8. absolute function/絕對值問題

★概念：

我們都知道|x-y|只會有兩種解:

x>y時，x-y
y>x時，-(x-y)=y-x

如果我們現在可以找到兩個數字

$$
s1^+，s1^-
$$

其中

$$
s1^+ >= 0，s1^- >= 0
$$

我們可將原本的式子改寫成

part1:絕對值內限制

$$
x-y = s1^+-s1^-
$$

part2:絕對值等式

$$
|x-y| = s1^++s1^-
$$

★驗證：

如果 x>y，|x-y|=x-y

此時

$$
x-y = s1^+-s1^- 中，s1^+=x-y，s1^-=0
$$

$$
原絕對值|x-y| = s1^++s1^- = x-y 成立
$$

如果 y>x，|x-y|=y-x

此時

$$
x-y = s1^+-s1^- 中，s1^+=0，s1^-=y-x
$$

$$
原絕對值|x-y| = s1^++s1^- = y-x 成立
$$

★注意：

Q:為什麼我們可以知道s1會剛好是我們要的值?

A:因為我們要找的是find Min of “s1+” + “s1-”
當一方為0另一方有值即為最小，一但雙方皆非0，總和必不是min